§ 3.2.10   Umwandlung von impliziter in parametrisierte Form

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				§ 3.2.10   Umwandlung von impliziter in parametrisierte Form

Umwandlung von impliziter in parametrisierte Form

Im allgemeinen können nicht alle algebraischen Kurven und Flächen mit Hilfe rationaler Polynome parametrisiert werden, für algebraische Kurven und Flächen vom Grad 2 ist dies jedoch immer möglich. Neben den Parametrisierungen von Kegelschnitten als Bézier-Kurven oder NURBS (vgl. 4.10.2) gibt es noch weitere Möglichkeiten, Kegelschnitte zu parametrisieren. Ein Beispiel findet man in dem Artikel von Sederberg und Anderson [SAG84]. Dort wird eine Faktorisierungstechnik verwendet, die wir am Beispiel von Kreis und Kugel erläutern wollen. Zerlegt man die Gleichung des Kreises in lineare Faktoren

so ergibt sich

und hieraus eine mögliche Parametrisierung: Führt man einen Parameter

ein, so erhält man die Gleichungen y-tx=rt und ty+x=r. Auflösen nach y und x liefert

Um die Kugel zu parametrisieren, führt man eine Hilfsvariable w ein.

Diese beiden Gleichungen können jede für sich mit derselben Methode wie die Kreisgleichungen parametrisiert werden und man erhält

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man als Parametrisierung der Kugel

Kennt man für alle Kegelschnitte, deren Bilinearform Diagonalgestalt besitzt, Parametrisierungen, so können davon ausgehend auch Parametrisierungen von Kegelschnitten berechnet werden, deren Bilinearform im zugrunde liegenden Koordinatensystem nicht durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Für Kegelschnitte im deren Bilinearform Diagonalgestalt besitzt, sind in Tabelle 3.1 Parametrisierungen aufgelistet.

  
Tabelle 3.1: Parametrisierungen von Kegelschnitten.

Als Beispiel betrachten wir die oben beschriebene Parametrisierung des Einheitskreises

Ihre homogene Form lautet

Durch die Matrix

werden die Punkte des Einheitskreises auf die Punkte der Parabel abgebildet.

Für einige Punkte ist diese Transformation in Bild 3.52 dargestellt.

 
Abbildung 3.52:  Transformation eines Kreises auf eine Parabel.

Daher liefert

eine homogene Parametrisierung der Parabel Für die Parabel existieren noch einfachere Parametrisierungen.

Parametrisierungen im dreidimensionalen Fall erhält man ausgehend von Parametrisierungen für Kegelschnitte, deren Bilinearform Diagonalgestalt besitzt, auf analoge Weise (vgl. z.B. [Hof89]).

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